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【论文关键词】标准及非标准无穷大数 假自然数集 推翻百年自然数公理和集论 极限论 级数论 变量的变域1一、极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论“数学是研究无穷的学科。”标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中有正数项1/n<ε，明白：
j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变量，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页）[3]书在“序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书上册（二版）》（高教出版社，2003）33页："ε∈（0，1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年糊涂话：①说ρ>0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！
[4]文第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”
二、有穷数列的性质不能硬套在无穷数列上“1890年左右在埃及人和巴比伦人能使用整数、分数和无理数的6千年后，…”（[1]书177页）说明人类认识正自然数至少已有5千多年。对于自然数列N“直截了当地假定下面的事实：…从1开始，沿着后继者的路线，每次数一个，任何一个整数都可以经过有限次数到。”（朱梧槚等译《无限的用处》13页，1985）（注！这只是个假定而并非不可推翻的金科玉律）。这无异于说正整数n并非多得写不完。也许不少相关编书者都能感到“事实”非常别扭：谁能将N的项由小到大全都写出来？故都没将其编入书而代之以：各n都是有穷数。不能全写出来，充分说明必有这样的n：即使永生不死的人也不可由1写到此n（用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。），原因是其是与1相隔无穷多个项的无穷大数，否则N就不是无穷数列了。且极限论断定N={n}中有n>“任给定”的正自然数1/ε。这其实是个“光身皇帝是否光身？”的问题。
有穷数列Y的任何两项之间都绝对不能有无穷多个Y的项，但此性质不能硬套和强加在无穷数列上。不能因[1，2]是无穷集就否定其有最大元。同样，不能否定存在有首、末项的无穷数列。
三、太浅显“一一配对”常识证实太惊人真相：此1，2，…，n，…之外还有名亡实存的正整数及最大自然数可数集A～自然数集N（表示A所有元能与所有自然数一一配对）有一使数学爆发革命的的特点T：不论如何分配都必能保证A的每一元都能配到一自然数“配偶”。例如N={0，1，2，3，…}～N={100，7，3，1，50，…}～N={0，2，4，6，…}∪{1，3，5，…}～N=…故在可数集N的非奇数2n都配有自然数配偶n（所有配偶n=0,1，2，3，…组成V）的同时N的奇数也都必可配有自然数配偶，所得配偶的全体组成数列W：m，m+1，m+2，…，m+n,…，显然m=∞1只能是V外标准无穷大自然数>V的一切n——推翻了自识正整数多得写不完的5千年来一直举世公认的“无自然数能>V的一切n”，证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。显然若m-1∈V则其就是V的最大元！其与0之间的自然数多得写不完，正如1与2之间的实数多得写不完一样。
N的偶数y=2n+2>n=0，1，2，…（所有n组成V）也一目了然地表达y必可>数列V的一切数而取V外数。
极显然：在N的非奇数2n都有配偶n∈V时，N的奇数都无配偶n∈V，除非拆散已配对的全部“夫妻”——充分说明V不可～N（否认此事实者连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂）从而更≠N!故课本将不可～N的似是N而非N的假N：V，误为N，是将N的部分误为全部的重大错误。
[5]证明了h定理1：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？D各元均由x>0变换为y=10x就得以y为元的Z～D。据h定理1,Z～D不可～D的真扩集K?D,从而更≠K! 故中学的“Z=K”是将K的一部分：Z误为K的重大根本错误！关键是Z各元y=10x的对应数x的全体组成的集是D而不能是K?D！Z～Z不能说明Z～K，因两者的组成成员不同：Z的元是10x,而K的元却是x。
数列W的所有数的倒数组成各项都是无穷小正数的无穷数列。记1/∞1=p，p的n>1次方pn是关于p的n级无穷小正数，一级无穷小数p无穷大倍于pn。长为1/∞1的线段放大∞1倍就成为长为1的有穷短线段。物质的无限可分性决定了有长≠0但又短至不能与任何有穷数相对应的无穷短直线段。“微分三角形”的各边都是无穷短线段。
0＜△x＜任何有穷正数ε（凡有穷正数都可由其代表）中的△x是正无穷小变数＜ε，其所取的数△x都是无穷小正数＜ε。注！去掉“有穷”二字就是病句。
由上可见任何已知正数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的用而不知的“特异”无穷数x±△x（正无穷小△x＜ε可取一切低、高级无穷小正数）。故已知正数全体R+仅为正数宇宙中的一颗星球！没受到以球为宇重大错误误导的小孩能一眼看出无穷数0.99…<1。受错误知识严重伤害的“大人”的知识水平远不如“皇帝新装”中的小孩啊！
人们在近似推理：y=x+10000x≈0+10000x》x（变域为R+）的过程中不自觉无意识地否定了百年R完备定理：断定R+各元x相比下均为可视其为0而忽略的极小正数。式中x可一个不漏地遍取R+的一切数使y必可一个不漏地遍比R+的一切x都大而取R+外数——直接显示R+外还有正数。
据特点T，N的各非0元n+1都配上自然数配偶n（所有配偶n=0，1，2，3，…组成U）的同时N的0也必可配有自然数配偶t。极显然：t不∈U是最大自然数！——推翻自然数公理和集论立论的论据：N各元n都有对应n+1、2n、…∈N。t+1等是超自然数。可见N有t+1个元，给N增n个元所得的集就有t+1+n个元。据此，级数有h性质：任何级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。故同样是级数，此级数的项可多于彼级数的项。
故课本的“定义域为N的无穷多函数y（n）=n+k（k=2，3，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
显然t+1个元的集才～N。若将级数A的项都用正自然数来标记：项1，项2，项3，…就用光一切正自然数了，则其有t个项。
显然m=∞1是有m个项的发散级数∑1的所有项的和。关键是级数的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。显然有革命推论：级数的所有项的和是存在的。（证：若{an}的项与{-an}的项一样多则两数列可合并为（an，-an）}的所有项的和∑（an-an）=0，不论其是否发散。）以上表明课本“各无穷级数、数列都有可数无穷多个项。”是重大错误。[7][8]证明了各级数都有末项。
四、无限循环小数是异于任何已知数的无穷数——数学教师都在扼杀学生们的正常思维能力恒可为两同位正纯小数的和的1=0.9+余数0.1=0.99+余数0.01=0.999+余数0.001=…=…=…所有余数形成{1-0.9，1-0.99，1-0.999，…，1/10n，…}=B。因其是无穷数列，故其中必有形如x=0.99…（省略号表示的9多得写不完）的数以及相应无穷小数△x=0.00…1（省略号表示的0多得写不完）（见上述“光身皇帝”问题且极限论断定B中有数1/10n<ε）。显然定义x=1就是定义数列中有数1/10n =0——违反起码数学常识！不少小学生均能正确察觉到形如此x的数无限逼近1但≠1。可见，若惟书不惟实则全世界数学教师都在传播谬误扼杀学生们的正常思维能力。
症结是不知∑9/10n的部分和的极限1与其所有项的和（见革命推论）x<1是两个根本不同的概念。同样，0.33…<1/3；…可见“∑9/10n=1”等等，是误导人的式子，是概念性错误。正确的等式是：∑9/10n=1-无穷小数△x。说1-△x=1是在削足适履。康脱将有无穷多个正数的基本数列B定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的指鹿为马及以1个为无穷多个的康健离脱的病态定义。
故给定的级数x=0.99…<1。m=∞1个9的x<m+1个9的x<m+2个9的x<…<1。…m个9的x与m2个9的x有重大差别。无限逼近与重合相等是两个根本不同的概念。
显然以球为宇、以井代天的数学对数的认识有极其重大的缺陷与错误。从而出现“分球怪论”“部分可=全部”“指正数为0”…等形形色色不合科学常理的怪论，使数学远离现实与群众而孤立自己。无怪乎着名数学史家M?克莱因感慨万千：“数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。”“数学家们正冒着传播谬误的危险，…”“与科学完全无关的纯数学…”（[1]书89、269、287页）。非科学可指鹿为马，但科学是老老实实的学问，不可指正数为0。违反现实世界普适法则的不科学的理论必是自相矛盾的谬论而绝非正确反映客观世界空间形式与数量关系的真正的纯数学。这就必使课本有一系列本文无法一一列出的重大根本错误。否则就极不正常了。
五、据最起码科学常识C，各发散级数都代表数——级数论有常识性错误：∑（1-1）不代表数0定义：可表为2的和的数称为偶数，可表为偶数与1的和或差的数是奇数。
可见任何级数不是有偶数个项就是有奇数个项。不识此真相使课本有常识性错误。
起码常识；数列的每一数都是数列的项，不论其是否被括在括号内。有无穷多双项的发散级数w=∑（a2n-1+a2n）=（a1+a2）+（a3+a4）+…=（1-1）+（1-1）+… =∑（1-1）=0和相应｛（1，-1），（1，-1），…｝的各项都≠0。给定的w的项的多少是一定的，若将其两项的和作为一项得w′就非原级数w了，虽然它们都表示一个数0。s=∑（bn-bn）=∑0=0，但bn≠0时，s与∑0是2个根本不同的级数！故书上张冠李戴地说w=0的各项都=0是常识性错误。
极显然的客观事实C：凡满足h条件“每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之配对”的级数必=0。
级数w是否=0完全取决于和式中的1与-1是否一样多，而与某极限是否存在完全无关，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响（课本否定此论断，是违反事实C而导致的常识性错误。）。“发散级数w不能表示一个数0”——级数论有几百年违反事实C的常识性错误！原因是一直误以为“满足h条件的w也可写为w=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1”以上革命发现表明：w有偶数2n个项而有n对项；而“w”=1+∑（-1+1）有奇数个项，即不是有无穷多双项而是有：无穷多双又+1项，从而根本不可加括号为∑（1-1），即w根本不可写为“w”！
显然∑an的各项都乘以-1就得与其同样多项的-∑an。
由级数来源于数列知∑（an+bn）就是表示由两不论是否发散的相应级数∑an、∑bn逐项相加而成的级数。没文献说两发散级数不可逐项相加。张宗达《工科数学分析（第3版）下册》165页：两发散级数逐项相加（减）的级数不一定发散，例如-1+1-1+1-…与1-1+1-1+…都发散，但两者逐项相加得∑（1-1）=∑0却是收敛的。（高教出版社，2008）。
应试教育和“尽信书”会使人丧失正常思维能力。例如小学生都知∑a=a+a+…的各项都-a就得∑a–本身∑a=0啊！然而不少人却不是以活生生事实为准而考虑书本是否有常识性错误？反而以死的书本为准而否认此事实。“顶峰论”与“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。
显然可证明有h定理2：若∑un与∑vn的各项可一一配对：un←→vn则两者可逐项相加得∑（un+vn），即∑un+∑vn =∑（un+vn）的充要条件是项un与项vn一样多；而∑（un+vn）必=相应的∑un+∑vn 。
据此定理任何级数∑an-本身∑an=∑（an-an）=0。因为无意义的符号是没有减法运算的，故此h等式表明有h推论：任何级数都是数！级数本身与它的部分和的极限是两个根本不同的概念。
[4]文第7节：在数学中若a不是数而是无意义的符号，就不可有a-a=0——据此最起码科学常识C，无穷和h=1+1+1+…与同样多个-1的和j=-h的代数和h-h=0=（h+j）显示h与j都是数！可见级数论否定h是数，是违反最起码科学常识C的常识性错误。常识C表明丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学自相矛盾。
六、结语真正的教师都不能对书本的重大错误不闻不问而只负责照本宣科当传声筒，不能惟书、惟上、不惟实；否则就会以讹传讹误人子弟。“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
深入才能浅出，浅入就只能深出。对数的认识的惊人浅薄必使人化简为繁、化清为浊。“大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。光是砍掉一个集论与为无穷数平反，相关学生的学习负担就能一下子大大减轻。革命更能使数学是朴实的科学真理从而能缩短学制，大大节省学费和时间。
参考文献[1]M?克莱因着、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:323。
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。
[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。
[4][5][6]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）；极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。
[7][8][9]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议着名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）；驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺着名运动世界难题[J]，今日科苑，2009（16）：267；再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007（12）：110。
[10][11]黄小宁，极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。
[12]黄小宁，教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见：中国学校教育研究？数学？计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
